16 de jun de 2017

EXERCÍCIOS - COM MDC

1) (UFMG) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número possível de pedaços é:

a) 7                          b)9                        c) 11                d) 13                   e) 30


2) Ana precisa cortar em pedaços iguais fitas coloridas para enfeita a escola no dia de festa. Ela tem 12m de fita verde, 18m de fita azul, 48m de fita amarela e 60m de fita vermelha. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço de fita?


3) Paulo tem duas tábuas uma de 90 centímetros e a outra de 126 centímetros. Ele quer cortá-las em pedaços de mesmo tamanho, sendo que o comprimento deve ser o maior possível. Qual deve ser o comprimento de cada pedaço?


Solução:


1) Após fatorar os números 36, 48 e 72 encontramos.




Observe que já tinham 36m, 48m e 72m, isto é, três pedaços. Foram cortados em 11 pedaços.
1º corte: 18m, 24m e 36m
2º corte: 9m, 12m e 18m
3º corte: 6m e 9m
4º corte: 3m

5º corte: 3m e 3m

Resposta final:
c) 11



2) Nesta questão ele  não quer saber em quantos pedaços foram cortados, mas, o tamanha que cada pedaço vai ter.




Observe que 2 e 3 são os números que dividiu os quatros números ao mesmo tempo.
Sendo assim: 2 . 3 = 6


Cada pedaço de fita vai ter 6 metros de fita.



3) Observe que a maneira de resolver é a mesma.



Observe que 2 e 32 são os números que dividiu os quatros números ao mesmo tempo.
Sendo assim: 2 . 9 = 18

Cada pedaço de fita vai ter 18 centímetros cada pedaço.



15 de jun de 2017

EXERCÍCIOS - NÚMEROS DE DIVISORES

1) Determine quantos divisores possui o número 450?

2) Determine quantos divisores têm o número 840?


3) Qual o número de divisores têm o número 3 430 000?

4) Qual o valor de n para que o número 23 x 32 x 5n  admita 60 divisores?

5) Qual é o valor de y que o número 3y x 3 x 32   admita 36 divisores?


Solução:


1) Após decompor em fatores primos o número 450:
450 = 2 x 32 x 52
Soma-se uma unidade em cada expoente antes de efetuar a multiplicação:
21+1 x 32+1 x 52+1
1+1 x 2+1 x 2+1 = 2 x 3 x 3 = 18

450 têm 18 divisores.


2) Após decompor em fatores primos o número 840:
840 = 23 x 3 x 5 x 7
Soma-se uma unidade em cada expoente antes de efetuar a multiplicação:
23+1 x 31+1 x 51+1 x 71+1
3+1 x 1+1 x 1+1 x 1+1
4 x 2 x 2 x 2 = 32

840 têm 32 divisores.


4) Ele já deu o número de divisores e ao mesmo tempo esse número fatorada, sendo que esta faltando o expoente de 5.

23 x 32 x 5n  = 60 
3+1 x 2+1 x (n + 1) = 60   ( somando uma unidade ao expoente)
4 x 3 x(n+1) =60
12(n+1) =60
12n + 12 = 60
12n = 60 – 12
12n = 48
n = 48/12
n=4


5) A resolução desta questão é o mesmo processo da anterior:

2y x 3 x 52 = 36
(y+1) x 1+1 x 2 + 1 = 36
(y+1) x 2 x 3 = 36
(y+1) x 6 = 36
6y + 6 = 36
6y = 36 – 6
6y = 30
y = 30/6
y = 5

10 de jun de 2017

NÚMERO DE DIVISORES

Aqui vamos ver mais um pouco o assunto relacionado a divisores de um número. Em outras postagens já foram visto como calcular os divisores em fatores primos.

Vamos ver agora não os divisores mas o total de divisores de um número, isto é, quantos são os divisores e não quais são os divisores.


Exemplos:

a) Quantos divisores tem o número 60?

I- Fatoramos 60 em números primos


22 x 3 x 5


II- Adicionamos uma unidade a mais em cada expoente dos fatores primos

2 + 1=3
1 + 1=2
1 + 1=2


III- Multiplicamos os resultados para encontrar a resposta:

3 x 2 x 2 = 12

Logo 60 têm 12 divisores.



b) Quantos divisores têm o número 360?

23 X 32 x 5

3+1=4
2+1=3
1+1=2

4 x 3 x 2 = 24

360 têm 24 divisores.


c) Quantos divisores têm o número 8400?

24 x 3 x 52 x 7

4 + 1 =5
1 + 1=2
2 + 1=3
1 +1=2

5 x 2 x 3 x 2= 60

8400 têm 60 divisores.


Agora é com vocês:
Determine o número de divisores de:
a) 840
b) 900