15 de fev de 2018

BINÔMIO DE NEWTON

RESUMO DO BINÔMIO DE NEWTON

O fatorial de n pertence ao naturais (N) e sua representação é n!
Não existe fatorial de números negativos.
Lembrando que:
n! = n.(n-1) . (n-2) . (n -3). ... . 3.2.1 
para n ≥ 2   0! = 1! = 1
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Obs: Casos especiais, conhecidos como "casos notáveis"






















Dois números binomiais são chamados de complementares quando:

Exemplos:
a) p+q=n  ( 2 + 5 = 7)











No 8º ano ( antiga 7ª série) o aluno aprendeu produtos notáveis, conforme os exemplos abaixo:





Neste resumo vamos aprender a resolver esse tipo de problemas para caso em que o expoente for maior que três.





Usando uma das duas fórmulas abaixo:




fórmula reduzida (chamada de somatório)







Observe que o primeiro elemento é elevado a número do expoente e vai diminuindo uma unidade até chegar a zero.


Já o segundo elemento faz-se o processo inverso, o expoente começa com zero e vai aumentando uma unidade.




Vamos desenvolver os seguintes binômios:







1º Dentro dos parênteses em cima vai o número do expoente e em baixo na ordem crescente, começando por zero.

2º o primeiro elemento ( x) é elevado ao mesmo número do expoente e vai diminuindo uma unidade até zera.





3º o segundo elemento (y) começa sendo elevando a zero e vai aumentando uma unidade.

Continuando para encontrar os coeficientes

















Organizando a expressão substituindo os coeficientes de cada um que foi encontrado. No exemplo vamos colocar o número 1 como coeficientes mas, não é necessário.











































8 de fev de 2018

POTÊNCIA DE BASE DEZ E POTÊNCIA DE NÚMERO DECIMAL

No blog temos um pequeno resumo de Potenciação, lá tem suas propriedades. Assunto esse muito importante para auxilar no estudo de outros assuntos como o estudo de logaritmo.

Nessa postagem irei explicar um pouco mais sobre potenciação, principalmente de base dez e com números decimais.

POTÊNCIA DE BASE DEZ


Vejamos os exemplos abaixo:
Resolva: 101 ;  102  ;10;104   ;105

Quando o aluno (a) encontrar uma potência de base dez, é só repetir o número 1 e acrescentar tantos zeros pedir o expoente:

a) 101  = 10        ( 1 seguindo de um zero. Já que o expoente é 1)
b) 102 = 10 x 10 = 100      ( 1 seguindo de dois zeros. Já que o expoente é 2)
c) 103 = 10 x 10 x 10 = 1000     ( 1 seguindo de três zeros. Já que o expoente é 3)
d) 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000   ( 1 seguindo de quatro zeros. Já que o expoente é 4)
e) 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000      ( 1 seguindo de cinco zeros. Já que o expoente é 5).


POTÊNCIA DE NÚMERO DECIMAL

Como resolver potenciação com números decimais:
Multiplica-se a base por ela mesma quantas vezes manda o expoente.
A multiplicação é feita como um número inteiro. Depois coloca-se a vírgula contando o número de casas decimais da direita para a esquerda.

a) (0,3)1  = 0,3
b) (0,5)2 = 0,5 x 0,5 = 0,25    ( da direita para esquerda, duas casas decimais). 
c) (0,2)3 = 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008  ( da direita para esquerda contamos três casas decimais).
d) (2,3)4 = 2,3 x 2,3 x 2,3 x 2,3 = 27,9841   ( da direita para esquerda contamos quatro casas decimais).
e) (1,25)= 1,25 x 1,25 x 1,25  = 1,953125 

Vejamos uma dica importante para o exemplo e)
Multiplica-se a base por ele mesma, como no exemplo dado, sem se preocupar com a vírgula.

O resultado é 1953125

Observe que o número já têm duas casas decimais, e o expoente é 3. 
Multiplique o número de casas decimais pelo expoente
2 x 3 = 6
 Agora é só contar da direita para esquerda 6 casas e colocar a vírgula.
1,953125





9 de dez de 2017

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Progressão Geométrica é uma sequência de números não nulos, sendo que o termo seguinte, a partir do segundo termo, que multiplicado por um número fixo (chamado de razão P.G.)

Exemplos:
a) ( 3, 6, 12, 24)
Dividindo o segundo termo pelo primeiro encontramos 2 que é a constante, ou seja, a razão dessa P.G.  

b) ( 2, 6, 18, 54, ... )  → razão q = 3

RAZÃO → Para encontrar a razão de uma P.G. basta efetuar a divisão entre um termo e seu antecessor.




Veja o esquema abaixo, q é chamado de razão da P.G.





Exemplo: Determine a razão das P.G. 
a( 1, 3, 9, ... )

b( 16, 8, 4, ...)

Soluções:
a) ( 1, 3, 9, ... )




b) ( 16, 8, 4, ...) 




c) Determine os cincos primeiros termos da P.G. sabendo que o primeiro termo é 5 e a razão é q= 3
Para encontrar os cincos primeiros termos da P.G. basta multiplicar a razão pelo termo anterior.
5 . 3 = 15
15 . 3 = 45
45 . 3 = 135
135 . 3 = 405
405 . 3 = 1215

Os cincos primeiros termos são: (15, 45, 135, 405, 1215)

TERMO GERAL 


an  - termo geral
a1  - primeiro termo
n - números de termos
q - razão



Exemplo: Determine o oitavo termo da P.G. (, 3, 9, . . .)
Dados:
a1 =
n= 8

a8 = ?
Calculando a razão:




Substituindo na fórmula:









SOMAS DOS TERMOS






Sn – soma dos n termos
n – números de termos
a1 – primeiro termo

q – razão da P.G.

Exemplo: Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. ( 2, 4, 8, . . . )
Dados:
Sn = ?
n = 6
a1 = 2

q = 2

Substituindo na fórmula:
















SOMAS DE UMA P.G. INFINITA





Exemplo: Qual a soma da P.G. infinita: (100, 50, 25, . . . )


























SOMAS DE UMA P.G. CONSTANTE ( q = 1)




Exemplo: Qual a soma do quinto termo da P.G. ( 8, 8, 8, . . . )
Dados:
S5 = ?
n = 5
a1 = 8
q = 1

S5 = n. a1
S5 = 5. 8

S5 = 40

TRÊS TERMOS EM P.G.






PRODUTOS DOS TERMOS DE UMA P.G. LIMITADA